题目内容

方程x3-3x+a+1=0在x∈[-2，+∞）上有三个不同的实根，则实数a的取值范围为______．

f（x）=x3-3x+a+1，f'（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1），
当x∈（-∞，-1），f'（x）＞0；
x∈（-1，1），f'（x）＜0；
x∈（1，+∞），f'（x）＞0．
∴f（x）在x=-1取极大值3+a，在x=1时取极小值a-1．
根据f（x）的大致图象的变化情况，有三个不同的实数解时，
f(-1)＞0
f(1)＜0
f(-2)＜0

解得a的取值范围是-3＜a＜1．
故答案为：-3＜a＜1．
练习册系列答案
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设函数f（x）=x3+x2，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程______．
曲线y=x3+1在点（-1，0）处的切线方程为（　　）
A．3x+y+3=0B．3x-y+3=0C．3x-y=0D．3x-y-3=0
若函数y=
x3
3
-x2+1（0＜x＜2）的图象上任意点处切线的倾斜角为α，则α的最小值是（　　）
A．
π
4
B．
π
6
C．
5π
6
D．
3π
4
已知函数f（x）=
lnx+k
ex
（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设g（x）=（x2+x）f′（x），其中f′（x）是f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e-2．
已知函数f（x）=ax3+cx+d（a≠0）是R上的奇函数，当x=1时，f（x）取得极值-2．
（I）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当x∈[-3，3]时，f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．
已知函数f（x）=x3-2x2-4x-7，其导函数为f′（x）．
①f（x）的单调减区间是(
2
3
，2)；
②f（x）的极小值是-15；
③当a＞2时，对任意的x＞2且x≠a，恒有f（x）＞f（a）+f′（a）（x-a）
④函数f（x）满足f(
2
3
-x)+f(
2
3
+x)=0
其中假命题的个数为（　　）
A．0个B．1个C．2个D．3个
已知函数f（x）=x3-4x2+5x-4．
（1）求曲线f（x）在x=2处的切线方程；
（2）求经过点A（2，-2）的曲线f（x）的切线方程．
若
lim
△x→0
f(x0+2△x)-f(x0)
△x
=1，则f′（x0）等于（　　）
A．2B．-2C．
1
2
D．-
1
2

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