题目内容
已知函数f（x）=x3-2x2-4x-7，其导函数为f′（x）．
①f（x）的单调减区间是(
，2)；
②f（x）的极小值是-15；
③当a＞2时，对任意的x＞2且x≠a，恒有f（x）＞f（a）+f′（a）（x-a）
④函数f（x）满足f(
-x)+f(
+x)=0
其中假命题的个数为（ ）
①f（x）的单调减区间是(
| 2 |
| 3 |
②f（x）的极小值是-15；
③当a＞2时，对任意的x＞2且x≠a，恒有f（x）＞f（a）+f′（a）（x-a）
④函数f（x）满足f(
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
其中假命题的个数为（ ）
| A．0个 | B．1个 | C．2个 | D．3个 |
∵f（x）=x3-2x2-4x-7，
∴f′（x）=3x2-4x-4，
令f′（x）=3x2-4x-4=0，得x1=-
，x2=2．
列表讨论
∴减区间为（-∞，2]，增区间为[2，+∞），
当x=2时，函数有极小值f（2）=8-2×4-4×2-7=-15，
故①错误，②正确；
∵a＞2，x＞2且x≠a，
∴f（x）-f（a）-f′（a）（x-a）
=x3-2x2-4x-a3+2a2+4a-（3a2-4a-4）（x-a）
=x3+2a3-2x2-2a2-3a2x+4ax＞0，
∴恒有f（x）＞f（a）+f′（a）（x-a），
故③正确；
∵f（x）=x3-2x2-4x-7，
∴函数f（x）不满足f(
-x)+f(
+x)=0，
故④不正确，
故选C．
∴f′（x）=3x2-4x-4，
令f′（x）=3x2-4x-4=0，得x1=-
| 2 |
| 3 |
列表讨论
| x | （-∞，-
| -
| （-
| 2 | （2，+∞） | ||||||
| f′（x） | - | 0 | - | 0 | + | ||||||
| f（x） | ↓ | ↓ | 极小值 | ↑ |
当x=2时，函数有极小值f（2）=8-2×4-4×2-7=-15，
故①错误，②正确；
∵a＞2，x＞2且x≠a，
∴f（x）-f（a）-f′（a）（x-a）
=x3-2x2-4x-a3+2a2+4a-（3a2-4a-4）（x-a）
=x3+2a3-2x2-2a2-3a2x+4ax＞0，
∴恒有f（x）＞f（a）+f′（a）（x-a），
故③正确；
∵f（x）=x3-2x2-4x-7，
∴函数f（x）不满足f(
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
故④不正确，
故选C．
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