Question

16．直线y=x，曲线y²=4x所围图形的面积是$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 求得交点坐标，根据定积分的几何意义，选择合适的积分形式．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4}\end{array}\right.$，
则直线y=x，曲线y²=4x交点坐标（0，0），（4，4），
∴直线y=x，曲线y²=4x所围图形的面积S，
对y积分，S=${∫}_{0}^{4}$（y-$\frac{{y}^{2}}{4}$）dy=（$\frac{1}{2}$y²-$\frac{{y}^{3}}{12}$）${丨}_{0}^{4}$=$\frac{8}{3}$，
对x积分：S=${∫}_{0}^{4}$（$2\sqrt{x}$-x）dx=（$\frac{4}{3}$${x}^{\frac{3}{2}}$-$\frac{1}{2}$x²）${丨}_{0}^{4}$=$\frac{8}{3}$，

故答案为：$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查定积分的几何意义，考查积分的运算，选择合适的积分形式，会简化运算，考查计算能力，属于中档题．