Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，下顶点为A，离心率e=

1

2

，若直线l：x-

3

y-3=0过点A．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，过右焦点F₂作斜率为k的直线l′与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点p（m，0），使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出b=

3

，由

c

a

=

1

2

，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F₂（1，0），设l′的方程为y=k（x-1），联立

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，设交点为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由于菱形对角线垂直，得(

PM

+

PN

)•

MN

=0，由此能求出存在满足题意的点P，且m的取值范围是（0，

1

4

）．

解答： 解：（Ⅰ）由直线l：x-

3

y-3=0，得点A坐标为（0，-

3

），
即b=

3

，由

c

a

=

1

2

，a²=b²+c²，得a=2，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F₂（1，0），设l′的方程为y=k（x-1），
联立

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
设交点为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），∵3+4k²＞0，
∴x1+x2=

8k2

3+4k2

，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2），

PM

+

PN

=（x₁-m，y₁）+（x₂-m，y₂）=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂），
由于菱形对角线垂直，∴(

PM

+

PN

)•

MN

=0，
∵

MN

的方向向量是（1，k），
∴k（y₁+y₂）+x₁+x₂-2m=0，
∴k²（

8k2

3+4k2

-2）+

8k2

3+4k2

-2m=0，
由已知条件知k≠0，且k∈R，
∴m=

k2

3+4k2

=

1

3 k2 +4

，∴0＜m＜

1

4

．
∴存在满足题意的点P，且m的取值范围是（0，

1

4

）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意菱形对角线性质的灵活运用．