题目内容
请使用向量法证明：等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且|BD|=| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：由于B，P，E三点共线，根据共线定理可得：存在实数λ使得
=(1-λ)
+λ
=(1-λ)
+
λ
．同理A，P，D三点共线，可得存在实数μ使得
=μ
．化简整理，再根据平面向量基本定理可得λ，μ．利用三角形法则可得
=
+
．根据平面向量基本定理，把
，
都用
，
表示，再利用数量积运算即可得出．
| AP |
| AB |
| AE |
| AB |
| 2 |
| 3 |
| AC |
| AP |
| AD |
| CP |
| CD |
| DP |
| AP |
| CP |
| AB |
| AC |
解答：
解：∵B，P，E三点共线，∴存在实数λ使得
=(1-λ)
+λ
=(1-λ)
+
λ
．
∵A，P，D三点共线，∴存在实数μ使得
=μ
，
又
=
+
=
+
=
+
(
+
)=
+
，
∴
=
μ
+
μ
．
根据平面向量基本定理可得：
，解得
．
∴
=
．
∴
=
+
．
∴
=
+
=
+
=
(
-
)+
(-
-
)=
-
．
不妨设AB=AC=2，则
•
=|
||
|cos60°=2×2×
=2．
∴
•
=(
+
)•（
-
）
=
(8
2-5
2-6
•
)
=
(8×22-5×22-6×2)
=0．
∴
⊥
．
即AP⊥CP．
| AP |
| AB |
| AE |
| AB |
| 2 |
| 3 |
| AC |
∵A，P，D三点共线，∴存在实数μ使得
| AP |
| AD |
又
| AD |
| AB |
| BD |
| AB |
| 1 |
| 3 |
| BC |
| AB |
| 1 |
| 3 |
| BA |
| AC |
| 2 |
| 3 |
| AB |
| 1 |
| 3 |
| AC |
∴
| AP |
| 2 |
| 3 |
| AB |
| 1 |
| 3 |
| AC |
根据平面向量基本定理可得：
|
|
∴
| AP |
| 6 |
| 7 |
| AD |
∴
| AP |
| 4 |
| 7 |
| AB |
| 2 |
| 7 |
| AC |
∴
| CP |
| CD |
| DP |
| 2 |
| 3 |
| CB |
| 1 |
| 7 |
| DA |
| 2 |
| 3 |
| AB |
| AC |
| 1 |
| 7 |
| 2 |
| 3 |
| AB |
| 1 |
| 3 |
| AC |
| 4 |
| 7 |
| AB |
| 5 |
| 7 |
| AC |
不妨设AB=AC=2，则
| AB |
| AC |
| AB |
| AC |
| 1 |
| 2 |
∴
| AP |
| CP |
| 4 |
| 7 |
| AB |
| 2 |
| 7 |
| AC |
| 4 |
| 7 |
| AB |
| 5 |
| 7 |
| AC |
=
| 2 |
| 49 |
| AB |
| AC |
| AB |
| AC |
=
| 2 |
| 49 |
=0．
∴
| AP |
| CP |
即AP⊥CP．
点评：本题考查了向量三角形法则、向量共线定理、平面向量基本定理、数量积运算等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
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