Question

20．已知函数$f（x）=sinx+sin（x+\frac{π}{2}），x∈R$
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的最大值及相应x的取值集合；
（3）若f（α）=$\frac{3}{4}$，求sin2α的值．

Answer 1

分析 利用两角和的正弦函数化简函数的解析式，
（1）利用周期公式求出周期．
（2）利用正弦函数的最值求解函数的最值，求出对应的x值．
（3）利用函数的解析式，结合二倍角公式，同角三角函数的基本关系式求解即可．

解答 解：f（x）=sinx+cosx=$\sqrt{2}（\frac{{\sqrt{2}}}{2}sinx+\frac{{\sqrt{2}}}{2}cosx）$=$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$．（3分）
（1）f（x）的最小正周期T=2π；（4分）
（2）当$sin（x+\frac{π}{4}）$=1，即$x+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}+2kπ$，$x=\frac{π}{4}+2kπ，\;k∈Z$时，f（x）的最大值为$\sqrt{2}$，
此时x的取值集合为$\{x|x=\frac{π}{4}+2kπ，\;k∈Z\}$．（8分）
（3）$f（α）=\frac{3}{4}$即$sinα+cosα=\frac{3}{4}$，两边平方得：${（sinα+cosα）^2}=\frac{9}{16}$，
∴$1+2sinαcosα=1+sin2α=\frac{9}{16}$，∴$sin2α=-\frac{7}{16}$．（12分）

点评 本题考查两角和与差的三角函数，正弦函数的最值以及二倍角公式的应用，考查计算能力．