Question

5．过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左顶点A作倾斜角为45°的直线l，l交y轴于点B，交双曲线的一条渐近线于点C，若$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{BC}$，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． 5
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Answer 1

分析 根据三角形的中位线定理求得C点坐标，代入双曲线的渐近线方程，即可求得a和b的关系，利用双曲线的离心率，即可求得答案．

解答 解：由题意可知：设双曲线的左顶点D，连接CD，
由题意可知：丨OA丨=丨OB丨=a，
OB是△ADC的中位线，则丨CD丨=2a，
则C（a，2a），
将C代入双曲线的渐近线方程y=$\frac{b}{a}$x，
整理得：b=2a，
则该双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{5}$，
∴双曲线的离心率$\sqrt{5}$，
故选B．

点评 本题考查双曲线的标准方程及简单几何性质，考查三角形的中位线定理，考查数形结合思想，属于中档题．