Question

18．已知函数f（x）=a+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$（x∈R）是奇函数．
（1）求常数a的值；
（2）若f（x）＞0，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数是奇函数，则f（0）=0，建立方程即可得到结论．
（2）根据指数函数的单调性解不等式即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=a+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$（x∈R）是奇函数．
∴f（0）=0，即f（0）=a+1=0，得a=-1．
（2）∵a=-1．
∴f（x）=-1+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
由f（x）=-1+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$＞0得$\frac{2}{{2}^{x}+1}$＞1，
即2^x+1＜2，即2^x＜1，
即x＜0，
即x的取值范围是（-∞，0）．

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用以及不等式的求解，利用奇函数f（0）=0的性质是解决本题的关键．