Question

2．平面直角坐标系xOy中，已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{1}{2}$，左、右焦点分别是F₁，F₂，以F₁为圆心以3为半径的圆与以F₂为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C上一动点P（x₀，y₀）（y₀≠0）的直线l：$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{{b}^{2}}$=1，过F₂与x轴垂直的直线记为l₁，右准线记为l₂；
①设直线l与直线l₁相交于点M，直线l与直线l₂相交于点N，证明$\frac{M{F}_{2}}{N{F}_{2}}$恒为定值，并求此定值．
②若连接F₁P并延长与直线l₂相交于点Q，椭圆C的右顶点A，设直线PA的斜率为k₁，直线QA的斜率为k₂，求k₁•k₂的取值范围．

Answer 1

分析 （1）以F₁为圆心以3为半径的圆与以F₂为圆心以1为半径的圆相交，且交点E在椭圆C上．可得|EF₁|+|EF₂|=3+1=2a，解得a=2．又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，解得c，b²，即可得到椭圆C的方程；
（2）①直线l₁：x=1，直线l₂：x=4．把x=1代入直线1，解得y，可得M坐标．同理可得N坐标．又${y}_{0}^{2}$=$\frac{3（4-{x}_{0}^{2}）}{4}$，利用两点之间的距离公式可得$\frac{M{F}_{2}}{N{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$为定值．
②由由$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+\frac{{y}_{0}^{2}}{3}=1$，解得${y}_{0}^{2}$=$\frac{3（4-{x}_{0}^{2}）}{4}$．直线l₁的方程为：x=1；直线l₂的方程为：x=4．直线PF₁的方程为：y-0=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+1}$（x+1），由于-1＜x₀＜2，可得$\frac{1}{{x}_{0}+1}$∈（$\frac{1}{3}$，+∞），即可得出k₁k₂，利用函数的性质即可得出．

解答 解：（1）由题意知2a=4，则a=2，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，求得c=1，
b²=a²-c²=3
∴椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．；
（2）①证明：直线l₁：x=1，直线l₂：x=4．
把x=1代入直线1：$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{{b}^{2}}$=1，解得y=$\frac{3（4-{x}_{0}）}{4}$，
∴M$（{1，\frac{{3（{x_0}-4）}}{{4{y_0}}}}）$，
把x=4代入直线1：$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{{b}^{2}}$=1方程，解得y=$\frac{3（1-{x}_{0}）}{{y}_{0}}$，
∴N$（{4，\frac{{3{x_0}-3}}{y_0}}）$，
∴$\frac{{M{F_2}}}{{N{F_2}}}=\frac{{3|{\frac{{{x_0}-4}}{{4{y_0}}}}|}}{{\sqrt{{{（{\frac{{3{x_0}-3}}{y_0}}）}^2}+9}}}=\frac{{|{{x_0}-4}|}}{{4\sqrt{{{（{{x_0}-1}）}^2}+{y_0}^2}}}=\frac{{|{{x_0}-4}|}}{{2\sqrt{{x_0}^2-8{x_0}+16}}}=\frac{1}{2}$
②由$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+\frac{{y}_{0}^{2}}{3}=1$，解得${y}_{0}^{2}$=3（1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$）（-2≤x₀＜2），x₀≠-1．
直线l₁的方程为：x=1；直线l₂的方程为：x=4．
直线PF₁的方程为：y-0=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+1}$（x+1），
令x=4，可得y_Q═$\frac{5{y}_{0}}{{x}_{0}+1}$．
点Q$（4，\frac{{5{y_0}}}{{{x_0}+1}}）$，
∵${k_1}=\frac{y_0}{{{x_0}-2}}$，k₂=$\frac{5{y}_{0}}{{2（x}_{0}+1）}$，
∴k₁•k₂=$\frac{y_0}{{{x_0}-2}}×\frac{{5{y_0}}}{{2（{x_0}+1）}}$=$\frac{5{y}_{0}^{2}}{2（{x}_{0}+1）（{x}_{0}-2）}$． 
∵点P在椭圆C上，∴$\frac{{{x_0}^2}}{4}+\frac{{{y_0}^2}}{3}=1$，
∴k₁•k₂=$-\frac{15}{8}×\frac{{{x_0}+2}}{{{x_0}+1}}$=$-\frac{15}{8}×（1+\frac{1}{{{x_0}+1}}）$． 
∵-1＜x₀＜2，
∴$\frac{1}{{x}_{0}+1}$∈（$\frac{1}{3}$，+∞），
∴k₁•k₂＜-$\frac{5}{2}$．
∴k₁•k₂的取值范围是k₁k₂∈（-∞，-$\frac{5}{2}$）．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、圆的方程、直线与椭圆相交问题、斜率计算公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．