Question

3．已知幂函数f（x）=x^m-3（m∈N₊）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，求满足（a+1）${\;}^{-\frac{m}{3}}$＜（3-2a）${\;}^{-\frac{m}{3}}$的a的取值范围．

Answer 1

分析 根据幂函数f（x）的图象与性质求出m的值，再化简不等式（a+1）${\;}^{-\frac{m}{3}}$＜（3-2a）${\;}^{-\frac{m}{3}}$，即可求出a的取值范围．

解答 解：∵幂函数f（x）=x^m-3（m∈N₊）的图象关于y轴对称，
∴m-3是偶数；
又f（x）在（0，+∞）上是减函数，
∴m-3＜0，即m＜3；
又m∈N₊，
∴m=1；
∴不等式（a+1）${\;}^{-\frac{m}{3}}$＜（3-2a）${\;}^{-\frac{m}{3}}$化为${（a+1）}^{-\frac{1}{3}}$＜${（3-2a）}^{-\frac{1}{3}}$，
即$\frac{1}{a+1}$＜$\frac{1}{3-2a}$，
移项得$\frac{1}{a+1}$-$\frac{1}{3-2a}$＜0，
通分化简得$\frac{3a-2}{（a+1）（2a-3）}$＜0，
解得a＜-1，或$\frac{2}{3}$＜a＜$\frac{3}{2}$，
∴a的取值范围是（-∞，-1）∪（$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，也考查了分式不等式的解法与应用问题，是基础题目．