Question

19．求函数y=$\frac{{x}^{2}-x}{{x}^{2}-x+1}$的值域．

Answer 1

分析 可以想着分子分母同除以x²-x，从而需讨论x²-x=0和x²-x≠0：x²-x=0时便得到y=0，而x²-x≠0时可得出$y=\frac{1}{1+\frac{1}{{x}^{2}-x}}$，从而可求x²-x的范围，直到求出$\frac{1}{1+\frac{1}{{x}^{2}-x}}$的范围，这两种情况的y范围求并集即可得出原函数的值域．

解答 解：①若x²-x=0，则y=0；
②若x²-x≠0，则y=$\frac{{x}^{2}-x}{{x}^{2}-x+1}$=$\frac{1}{1+\frac{1}{{x}^{2}-x}}$；
${x}^{2}-x=（x-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}≥-\frac{1}{4}$；
∴$-\frac{1}{4}≤{x}^{2}-x＜0$，或x²-x＞0；
∴$\frac{1}{{x}^{2}-x}≤-4，或\frac{1}{{x}^{2}-x}＞0$；
∴$1+\frac{1}{{x}^{2}-x}≤-3$，或$1+\frac{1}{{x}^{2}-x}＞1$；
∴$-\frac{1}{3}≤\frac{1}{1+\frac{1}{{x}^{2}-x}}＜0$，或$0＜\frac{1}{1+\frac{1}{{x}^{2}-x}}＜1$；
∴综上得原函数的值域为$[-\frac{1}{3}，1）$．

点评 考查函数值域的概念，配方求二次函数的值域，由x的范围求$\frac{1}{x}$的范围的方法：同向的不等式取倒数，不等号方向改变，使用本题方法时不要漏了讨论x²-x是否为0．