Question

11．解关于x的不等式a（x²+1）≥2x．

Answer 1

分析 由题意分类讨论，利用二次函数的性质分别求得它的解集．

解答 解：①当a=0时，关于x的不等式a（x²+1）≥2x，即 0≥2x，求得 x≤0，故不等式的解集为{x|x≤0}．
②当0＜a＜1时，关于x的不等式a（x²+1）≥2x，即ax²-2x+a≥0，
由于它的判别式△=4-4a²＞0，求得不等式的解集为{x|x≤1-$\sqrt{{1-a}^{2}}$，或x≥1+$\sqrt{{1-a}^{2}}$}．
③当a≥1时，关于x的不等式a（x²+1）≥2x，即ax²-2x+a≥0，由于△≤0，∴它的解集为R．
④当-1＜a＜0时，不等式即ax²-2x+a≥0，
由于它的判别式△=4-4a²＞0，求得不等式的解集为{x|x＜1-$\sqrt{{1-a}^{2}}$≤x≤1+$\sqrt{{1-a}^{2}}$}．
⑤当a=-1时，即-x²-2x-1=-（x+1）²≥0，求得 x=-1，故不等式的解集为{-1}．
⑥当a＜-1时，关于x的不等式即ax²-2x+a≥0，由于它的判别式△＜0，∴它的解集为∅．

点评 本题主要考查二次函数的性质、一元二次不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．