Question

已知椭圆 C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）上一点P到它的两个焦点F₁（左），F₂（右）的距离的和是2

2

，短轴长为2
（1）求椭圆C的标准方程与离心率的值．
（2）若直线PF₁的倾斜角为45⁰，求直线PF₁被椭圆C截的弦长的长度．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）首先，根据焦距和短轴长，求解得到c=

2

，b=1，然后，确定其标准方程；
（2）首先，写出直线的方程，然后，联立方程组，利用弦长公式进行求解．

解答： 解：（1）∵2c=2

2

，2b=2，
∴c=

2

，b=1，
∴a=

3

，
∴椭圆C的标准方程

x2

3

+y2=1，
离心率为e=

2

3

=

6

3

．
（2）∵直线PF₁的倾斜角为45⁰，
∴它的斜率为1，
∵F₁（-

2

，0），
∴直线l的方程为：y=x+

2

．
联立方程组，

y=x+ 2 x2+3y2=3

，
得4x²+6

2

x+3=0，
∴x₁+x₂=

3 2

2

，x₁x₂=

3

4

，
∴弦长

1+1

•

( 3 2 2 )2-4× 3 4

=

3

∴直线PF₁被椭圆C截的弦长的长度

3

．

点评：本题重点考查了直线与椭圆的位置关系、椭圆的标准方程等知识，属于中档题．