Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为边长为2的菱形，，，面面，点为棱的中点.

（1）在棱上是否存在一点，使得面，并说明理由；

（2）当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）取的中点，连结、，可证，四边形为平行四边形.

则，又平面，平面，所以，平面.故在棱上存在点，使得面，点为棱的中点.

（2）可证面，故以为坐标原点建立如图空间坐标系，求出相应点及相应向量的坐标可求直线与平面所成的角.

（1）在棱上存在点，使得面，点为棱的中点.

理由如下：

取的中点，连结、，

由题意，且，且，

故且.

所以，四边形为平行四边形.

所以，，又平面，平面，

所以，平面.

（2）由题意知为正三角形，所以，亦即，

又，

所以，且面面，面面，

所以面，故以为坐标原点建立如图空间坐标系，

设，则由题意知，，，，

，，

设平面的法向量为，

则由得，

令，则，，

所以取，

显然可取平面的法向量，

由题意： ，所以.

由于面，所以在平面内的射影为，

所以为直线与平面所成的角，

易知在中，从而，

所以直线与平面所成的角为.