Question

【题目】已知四边形是梯形(如图1)，，，，，E为的中点，以为折痕把折起，使点D到达点P的位置(如图2)，且.

（1）求证：平面平面；

（2）求点C到平面的距离.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）取的中点M，连接，，，根据，易得，再利用平面几何知识，由，得到，利用线面垂直的判定定理得到平面，进而由面面垂直的判定定理得证.

（2）由（1）知，平面，为正三角形且边长为1， 设点C到平面的距离为d，由等体积法求解.

（1）证明：连接，

因为，，，E为的中点，，

所以四边形是边长为1的正方形，且.

如图，取的中点M，连接，，，

因为，

所以，且，.

因为，

所以.

所以

因为，，，

所以，

所以.

因为，

所以平面.

因为平面，

所以平面平面.

（2）由（1）知，平面，，且.

因为，

所以为正三角形且边长为1.

设点C到平面的距离为d，

则，

所以，

即，

解得.

所以点C到平面的距离为.