Question

【题目】如图，四棱锥的底面是矩形，平面平面，，且，点为的中点.

（1）证明：平面平面；

（2）若直线和平面所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）推导出平面，可得出，再由，利用线面垂直的判定定理可得出平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；

（2）取中点，连接，，取中点，连接，由平面，可得出直线和平面所成的角为，计算出、，推导出平面，计算出，计算出点到平面的距离为，进而可得出直线与平面所成角的正弦值为.

（1）证明：平面平面，平面平面，平面，，平面，

又平面，，

又，且平面，平面，，平面，

又平面，平面平面；

（2）取中点，连接、，取中点，连接，

由（1）知平面，平面，，

即为直线和平面所成的角，，

又，，，，

为中点，，

平面平面，平面平面，平面，平面，

平面，，，且，，

，

、分别为、中点，，

又，，

，平面，平面，

平面，，

平面，平面，，平面，且，

在矩形中，且，

、分别为、的中点，且，

四边形为平行四边形，，

平面，平面，平面，

点与点到平面距离相等，设点到平面距离为，则，

设直线与平面所成角为，则.

则直线与平面所成角的正弦值.