Question

（1）已知k，n∈N^*且 k≤n，求证：k

C

k n

=n

C

k-1 n-1

．
（2）已知数列{a_n}满足an=(n+2)•2n-1-1（n∈N^*），是否存在等差数列{b_n}，使 an=

n

k=1

bk

C

k n

对一切n∈N^*均成立？若存在，求出数列{b_n}的通项公式b_n；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用组合数公式，即可证明结论；
（2）利用二项展开式，结合（1）的结论，即可求出数列{b_n}的通项公式b_n．

解答： （1）证明：kC_n^k=k•

n！

k！(n-k)！

=

n•(n-1)！

(k-1)！[(n-1)-(k-1)]！

=n•C_n-1^k-1．--（5分）
（2）解：a_n=（n+2）（1+1）^n-1-1=(n+2)(

C

0 n-1

+

C

1 n-1

+

C

2 n-1

+…+

C

n-1 n-1

)-1
=n(

C

0 n-1

+

C

1 n-1

+

C

2 n-1

+…+

C

n-1 n-1

)+2(

C

0 n-1

+

C

1 n-1

+

C

2 n-1

+…+

C

n-1 n-1

)-1
=(n

C

0 n-1

+n

C

1 n-1

+n

C

2 n-1

+…+n

C

n-1 n-1

)+2ⁿ-1
∵kC_n^k=nC_n-1^k-1，
∴(n

C

0 n-1

+n

C

1 n-1

+n

C

2 n-1

+…+n

C

n-1 n-1

)=1•C_n¹+2•C_n²+3•C_n³+…+n•C_nⁿ．
又2n-1=(1+1)n-1=

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n n

-1=

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n n

故a_n=(n

C

0 n-1

+n

C

1 n-1

+n

C

2 n-1

+…+n

C

n-1 n-1

)+2ⁿ-1
=（1•C_n¹+2•C_n²+3•C_n³+…+n•C_nⁿ）+（

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n n

）
=2•C_n¹+3•C_n²+4•C_n³+…+（n+1）•C_nⁿ
即2•C_n¹+3•C_n²+4•C_n³+…+（n+1）•C_nⁿ=b₁•C_n¹+b₂•C_n²+…+b_n•C_nⁿ，
∴b_n=n+1，∴b_n-1=n，b_n-b_n-1=1与n无关．
∴存在等差数列{b_n}，且通项公式为b_n=n+1-----（14分）

点评：本题考查由数列递推式求数列通项、数列求和；考查推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想．