Question

10．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²+（1-x）e^x（e为自然对数的底数），g（x）=x-（1+a）lnx-$\frac{a}{x}$，a＜1．
（1）求曲线f（x）在x=1处的切线方程；
（2）讨论函数g（x）的极小值；
（3）若对任意的x₁∈[-1，0]，总存在x₂∈[e，3]，使得f（x₁）＞g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；
（2）求出g（x）的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调区间，从而求出函数的极小值即可；
（3）问题等价于f（x）在[-1，0]上的最小值大于函数g（x）在[e，3]上的最小值，分别求出f（x），g（x）的极小值，得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=x（1-e^x），
∴f′（1）=1-e，即切线的斜率是1-e，
又f（1）=$\frac{1}{2}$，则切点坐标是（1，$\frac{1}{2}$），
故f（x）在x=1处的切线方程是y-$\frac{1}{2}$=（1-e）（x-1），
即2（e-1）x+2y-2e+1=0；
（2）∵g′（x）=$\frac{{x}^{2}-（a+1）x+a}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-a）（x-1）}{{x}^{2}}$，a＜1，
函数g（x）的定义域是{x|x＞0}，
∴0＜a＜1时，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜a或x＞1，
令g′（x）＜0，解得：a＜x＜1，
∴g（x）在（0，a）递增，在（a，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴g（x）的极小值为g（1）=1-a，
a≤0时，令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴g（x）的极小值是g（1）=1-a，
综上，函数g（x）的极小值是1-a；
（3）若对任意的x₁∈[-1，0]，总存在x₂∈[e，3]，使得f（x₁）＞g（x₂）成立，
等价于f（x）在[-1，0]上的最小值大于函数g（x）在[e，3]上的最小值，
x∈[-1，0]时，f′（x）=x（1-e^x）≤0，
当且仅当x=0时不等式取“=”，
∴f（x）在[-1，0]上单调递减，
∴f（x）在[-1，0]上的最小值是f（0）=1，
由（2）得，g（x）在[e，3]递减，
∴g（x）在[e，3]的最小值是g（e）=e-（a+1）-$\frac{a}{e}$，
故1＞e-（a+1）-$\frac{a}{e}$，解得：a＞$\frac{{e}^{2}-2e}{e+1}$，
又a＜1，
故a∈（$\frac{{e}^{2}-2e}{e+1}$，1）．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值、极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想、分类讨论思想，是一道综合题．