Question

已知a＞3且a≠

7

2

，命题p：指数函数f（x）=（2a-6）^x在R上单调递减，命题q：关于x的方程x²-3ax+2a²+1=0的两个实根均大于3．若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：分别求出命题p，q成立的等价条件，利用p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．

解答：解：若指数函数f（x）=（2a-6）^x在R上单调递减，则0＜2a-6＜1，解得3＜a＜

7

2

，即p：3＜a＜

7

2

．
若关于x的方程x²-3ax+2a²+1=0的两个实根均大于3．
设函数f（x）=x²-3ax+2a²+1，
则满足

△=(-3a)2-4(2a2+1)≥0 f(3)=9-9a+2a2+1＞0 - -3a 2 ＞3

，
即

a＞2或a≤-2 a＜2或a＞ 5 2 a＞2

，解得a＞

5

2

，
又a＞3且a≠

7

2

，∴a＞3且a≠

7

2

．即q：a＞3且a≠

7

2

．
当若p或q为真，p且q为假，
∴p，q一真一假．
若p真q假，则此时a无解．
若p假q真，则

a＞ 7 2 a＞3且a≠ 7 2 a＞2

，即a＞

7

2

．
综上：a＞

7

2

．

点评：本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，先求出命题p，q成立的等价条件，是解决此类问题的关键．