Question

已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且4sin²

B+C

2

-cos2A=

7

2

（1）求角A的大小，
（2）若a=

3

，cosB=

3

5

，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）利用三角恒等变换公式和诱导公式，化简已知等式得到（2cosA-1）²=0，解之得cosA=

1

2

，结合A是三角形的内角可得A=60°；
（2）算出sinA=

1-cos2A

=

4

5

，结合正弦定理算出b=

asinB

sinA

=

8

5

．利用诱导公式与两角和的正弦公式算出sinC=sin（A+B）=

3 3 +4

10

，最后利用正弦定理的面积公式即可算出△ABC的面积．

解答：解：（1）∵sin²

B+C

2

=

1

2

[1-cos（B+C）]=

1

2

（1+cosA），cos2A=2cosA-1
∴由4sin²

B+C

2

-cos2A=

7

2

，得（2cosA-1）²=0，解之得cosA=

1

2

∵A是三角形的内角，∴A=60°；
（2）由cosB=

3

5

，得sinA=

1-cos2A

=

4

5

∵

a

sinA

=

b

sinB

，∴b=

asinB

sinA

=

8

5

又∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

3 3 +4

10

∴△ABC的面积为S=

1

2

absinC=

1

2

×

3

×

8

5

×

3 3 +4

10

=

8 3 +18

25

．

点评：本题着重考查了正弦定理的面积公式、三角函数的诱导公式和三角恒等变换公式、正弦定理解三角形等知识，属于中档题．