Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知tanA+tanC=

3

(tanA•tanC-1)，且b=

7

2

，S△ABC=

3 3

2

．
求：（1）角B；
（2）a+c的值．

Answer 1

分析：（1）由tan(A+C)=

tanA+tanC

1-tanAtanC

及正切函数的诱导公式可得tanA+tanC=-tanB（1-tanAtanC），结合已知可求tanB，由B∈（0，π）可求B
（2）由（1）中的B及三角形的面积公式可求ac，然后由余弦定理b²=a²+c²-2accosB及b=

7

2

可求a+c

解答：解：（1）∵tan(A+C)=

tanA+tanC

1-tanAtanC

∴tanA+tanC=tan（A+C）•（1-tanA•tanC）
∵A+C=π-B
∴tan（A+C）=tan（π-B）=-tanB
∴tanA+tanC=-tanB（1-tanAtanC）=tanB（tanAtanC-1）
又∵tanA+tanC=

3

(tanA•tanC-1)，
∴tanB=

3

.
∵B∈（0，π）
∴B=

π

3

…（6分）
（2）∵S△ABC=

1

2

ac•sinB，且B=

π

3

，S△ABC=

3 3

2

，
∴ac=6．
∵b2=a2+c2-2accosB，b=

7

2

，
∴(

7

2

)2=(a+c)2-2ac(1+cosB)，
∴(a+c)2=

121

4

∵a+c＞0
∴a+c=

11

2

…（12分）

点评：本题主要考查了两角和的正切公式tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanAtanB

的逆应用，三角形的面积公式及余弦定理的应用，属于三角公式的综合应用．