Question

已知△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量．

m

=(cos

A

2

，sin

A

2

)  ，

n

=(cos

A

2

，-sin

A

2

)，且

m

与

n

的夹角为

π

3

（1）求A；
（2）已知a=

7

2

，求bc的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用两个向量的数量积的定义，数量积公式，求出cosA，再根据A的范围求出A的大小．
（2）利用余弦定理得到

49

4

=b2+c2-2bccos

π

3

=b²+c²-bc，再利用基本不等式可得 bc≤

49

4

，从而得到bc的最大值．

解答：解：（1）∵m=(cos

A

2

，sin

A

2

)，n=(cos

A

2

，-sin

A

2

)，∴m•n=cos2

A

2

-sin2

A

2

=cosA．
又m•n=|m|•|n|cos

π

3

=

1

2

，∴cosA=

1

2

，∴A=

π

3

．
（2）∵a2=b2+c2-2bccosA，a=

7

2

，A=

π

3

，
∴

49

4

=b2+c2-2bccos

π

3

=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，∴bc≤

49

4

，当且仅当b=c时取等号，∴bc的最大值为

49

4

．

点评：本题考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，根据三角函数的值求角，余弦定理，基本不等式的应用，
求出角A的大小是解题的关键．