Question

已知函数f（x）=-

1

2

x²-3x-

5

2

．
（Ⅰ）求出函数的单调区间、值域、零点；
（Ⅱ）不计算函数值，比较f（-

1

4

）与f（-

15

4

）大小；
（Ⅲ）写出使f（x）＜0的x集合．

Answer 1

考点：二次函数的性质,一元二次不等式的解法

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）关键二次函数的性质求解得出：函数的单调递增区间（-∞，-3），函数的单调递减区间（-3，+∞），再根据解析式得出值域为（-∞，2）．
（Ⅱ）根据函数的对称性得出f（-

1

4

）＜f（-

15

4

）
（Ⅲ）转化为不等式x²+6x+5＞0，求解．

解答： 解：∵函数f（x）=-

1

2

x²-3x-

5

2

．∴对称轴x=-3，
（Ⅰ）函数的单调递增区间（-∞，-3），函数的单调递减区间（-3，+∞），
∵f（-3）=2，值域为（-∞，2），
∵f（x）=-

1

2

x²-3x-

5

2

=0，
x=-1，x=-5
∴零点-1，-5．
（Ⅱ）∵|-

1

4

+3|=

11

4

，|-

15

4

+3|=

3

4

，

11

4

＞

3

4

，
∴f（-

1

4

）＜f（-

15

4

）
（Ⅲ））∵-

1

2

x²-3x-

5

2

＜0，
∴x²+6x+5＞0，
即x＞-1或x＜-5，
∴f（x）＜0的x集合为：{x|x＞-1或x＜-5}．

点评：本题考查了二次函数的概念，性质，运用求解单调区间，零点，不等式的解集，属于中档题．