Question

1．△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且（2c-a）cosB=bcosA．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若BC=6，AC边上的中线BD的长为7，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2sinCcosB=sinC，结合sinC≠0，可求$cosB=\frac{1}{2}$，结合范围B∈（0，π），可求B的值．
（Ⅱ）解法一：延长BD至点E，使得DE=BD，连接AE，CE．可求$∠BCE=\frac{2π}{3}$，BE=14．在△BCE中，根据余弦定理，得CE²+6CE-160=0，解得CE，AB的值，利用三角形面积公式即可计算得解．
解法二：利用向量加法可得$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}）$，平方可得$4{\overrightarrow{BD}^2}={\overrightarrow{BA}^2}+{\overrightarrow{BC}^2}+2\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$，代入解得AB的值，利用三角形面积公式即可得解．
解法三：设AB=x，CD=DA=y．根据余弦定理，可得4y²=x²-6x+36…①，进而可求$cos∠BDC=\frac{{{y^2}+13}}{14y}$，$cos∠BDA=\frac{{{y^2}-{x^2}+49}}{14y}$．化简可得2y²=x²-62…②． 由①②可得AB的值，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：（Ⅰ）根据正弦定理，由（2c-a）cosB=bcosA，
可得（2sinC-sinA）cosB=sinBcosA，
整理得2sinCcosB=sinAcosB+sinBcosA，
所以2sinCcosB=sinC，
因为sinC≠0，
所以$cosB=\frac{1}{2}$，
又因为B∈（0，π），
所以$B=\frac{π}{3}$．…（6分）
（Ⅱ）如图，延长BD至点E，使得DE=BD，连接AE，CE．
因为D为AC的中点，所以四边形ABCE为平行四边形，
所以$∠BCE=\frac{2π}{3}$，BE=14．
在△BCE中，根据余弦定理，得$B{E^2}=B{C^2}+C{E^2}-2BC•CE•cos\frac{2π}{3}$，
即CE²+6CE-160=0，解得CE=10，所以AB=CE=10．
所以△ABC的面积$S=\frac{1}{2}AB•BC•sinB=\frac{1}{2}×6×10×sin\frac{π}{3}=15\sqrt{3}$．…（12分）
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）因为BD是AC边上的中线，所以$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}）$，
所以$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}）$，即$4{\overrightarrow{BD}^2}={\overrightarrow{BA}^2}+{\overrightarrow{BC}^2}+2\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$．
所以$4×{7^2}=|\overrightarrow{BA}{|^2}+{6^2}+2×6×|{\overrightarrow{BA}}|×cos\frac{π}{3}$，即${|{\overrightarrow{BA}}|^2}+6|{\overrightarrow{BA}}|-160=0$，
解得$|\overrightarrow{BA}|=10$，即AB=10．
所以△ABC的面积$S=\frac{1}{2}AB•BC•sinB=\frac{1}{2}×6×10×sin\frac{π}{3}=15\sqrt{3}$．
解法三：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）设AB=x，CD=DA=y．
在△ABC中，根据余弦定理，可得$A{C^2}=A{B^2}+B{C^2}-2AB•BC•cos\frac{π}{3}$，
即4y²=x²-6x+36…①． 在△BCD中，根据余弦定理可得，$cos∠BDC=\frac{{B{D^2}+D{C^2}-B{C^2}}}{2BD•DC}=\frac{{{7^2}+{y^2}-{6^2}}}{2×7y}=\frac{{{y^2}+13}}{14y}$．
在△ABD中，同理可得，$cos∠BDA=\frac{{B{D^2}+A{D^2}-A{B^2}}}{2BD•AD}=\frac{{{7^2}+{y^2}-{x^2}}}{2×7y}=\frac{{{y^2}-{x^2}+49}}{14y}$．
因为∠BDC+∠BDA=π，
所以cos∠BDC=-cos∠BDA，
所以y²+13=-（y²-x²+49），
即2y²=x²-62…②． 由①②可得x²+6x-160=0，
所以x=10，即AB=10．
所以△ABC的面积$S=\frac{1}{2}AB•BC•sinB=\frac{1}{2}×6×10×sin\frac{π}{3}=15\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形面积公式，平面向量的运算在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．