Question

11．已知f（x）=3sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）函数f（x）的图象可以由函数y=sinx（x∈R）的图象经过怎样变换得到？
（3）求f（x）的最大值及取最大值时x的值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用周期公式可求最小正周期T，令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得单调递增区间．
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可得解．
（3）令2x-$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即可解得函数取最大值时x的集合．

解答 解：（1）∵f（x）=3sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
∴令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，
可得单调递增区间为：[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z，
（2）将y=sinx的图象先向右平移$\frac{π}{3}$个单位长度，
再把横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），
然后把纵坐标伸长为原来的3倍（横坐标不变），
再向上平移1个单位长度，可得f（x）=3sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1的图象．
（3）令2x-$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：x=kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，
可得：x∈{x|x=kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z}时，函数的最大值3+1=4．

点评 本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于基础题．