Question

9．在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，P是BC边上的一点，则${（\overrightarrow{BP}）^2}-\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BC}$的取值范围是（　　）

• A． $[\frac{1}{4}，3]$
• B． $[\frac{1}{2}，5]$
• C． $[\frac{13}{4}，5]$
• D． $[-\frac{27}{4}，-5]$

Answer 1

分析 利用余弦定理求得BC，再利用正弦定理求得sinB，可得cosB的值，再把${（\overrightarrow{BP}）^2}-\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BC}$=${（λ•\overrightarrow{BC}）}^{2}$-（$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{BC}$）•$\overrightarrow{BC}$ 转化为关于λ的二次函数，结合二次函数在闭区间上的最值即可求解．

解答 解：∵在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，
在△ABC中，∠BAC=120°中，根据余弦定理得，BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos∠BAC，
∴BC=$\sqrt{4+1-2•2•1•cos120°}$=$\sqrt{7}$．
根据正弦定理得，$\frac{AC}{sinB}$=$\frac{BC}{sinA}$，即$\frac{1}{sinB}$=$\frac{\sqrt{7}}{sin120°}$，∴sinB=$\frac{3}{2\sqrt{7}}$，cosB=$\frac{5}{2\sqrt{7}}$，
从而有${（\overrightarrow{BP}）^2}-\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BC}$=${（λ•\overrightarrow{BC}）}^{2}$-（$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{BC}$）•$\overrightarrow{BC}$=7λ²-2$\sqrt{7}$•$\frac{5}{2\sqrt{7}}$-7λ=7${（λ-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{13}{4}$，
∴${（\overrightarrow{BP}）^2}-\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BC}$的取值范围是[$\frac{13}{4}$，5]．
故选：C．

点评 本题主要考查了正弦定理、余弦定理在求解三角形中的应用，向量的数量积的应用及二次函数的性质的灵活应用是求解的关键，属于中档题．