Question

【题目】已知抛物线：，焦点为，其准线与轴交于点.椭圆：分别以、为左、右焦点，其离心率，且抛物线和椭圆的一个交点记为.

（1）当时，求椭圆的标准方程；

（2）在（1）的条件下，若直线经过椭圆的右焦点，且与抛物线相交于，两点，若弦长等于的周长，求直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）=1

（2）

【解析】

(1)当时,F(1,0),F(-1,0) 设椭圆的标准方程为(＞＞0),

∴=1,=∵,∴=2,=

故椭圆的标准方程为=1.

(2) (ⅰ)若直线的斜率不存在，则：=1，且A（1，2），B（1，-2），∴=4

又∵的周长等于=2+2=6

∴直线的斜率必存在.

ⅱ）设直线的斜率为，则：由，得

∵直线与抛物线有两个交点A，B，

∴，且

设

则可得，.

于是==

=

=

=.

∵的周长等于=2+2=6.

∴由=6，解得=.

故所求直线的方程为.