Question

【题目】已知椭圆的离心率为，分别为左，右焦点，分别为左，右顶点，D为上顶点，原点到直线的距离为.设点在第一象限，纵坐标为t，且轴，连接交椭圆于点.

（1）求椭圆的方程；

（2）（文）若三角形的面积等于四边形的面积，求直线的方程；

（理）求过点的圆方程（结果用t表示)

Answer 1

【答案】（1）.

（2）（文）（理）

【解析】

（1）通过已知条件求出离心率以及利用点到直线的距离公式求解a，b，即可得到椭圆方程．

（文）设，t＞0，直线PA的方程为，联立直线与椭圆方程，求出C的坐标，表示三角形的面积求出t，即可得到PA的方程．

（理）求出BP的垂直平分线，BC的垂直平分线为，求出圆心坐标，得到圆的方程即可．

（1）因为椭圆的由离心率为，

所以，，所以直线的方程为，

又到直线的距离为，所以，

所以，，

所以椭圆的方程为.

（2）（文），，

直线的方程为，

由，整理得，

解得：，则点的坐标是，

因为三角形的面积等于四边形的面积，所以三角形的面积等于三角形的面积，

，

，

则，解得.

所以直线的方程为.

（理），，

直线的方程为，

由，整理得，

解得：，则点的坐标是，

因为，，，

所以的垂直平分线，

的垂直平分线为，

所以过三点的圆的圆心为，

则过三点的圆方程为 ，

即所求圆方程为 .