Question

14．在直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的非负半轴，终边为射线l：y=2$\sqrt{2}$x（x≥0）．
（1）求$cos（α+\frac{π}{6}）$的值；
（2）若点P，Q分别是角α始边、终边上的动点，且PQ=6，求△POQ面积最大时，点P，Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）运用任意角的三角函数的定义，可得sinα，cosα，再由两角和的余弦公式，计算即可得到；
（2）设P（a，0），Q（b，2$\sqrt{2}$b）（a＞0，b＞0）．运用两点的距离公式，结合三角形的面积公式和基本不等式，即可得到三角形的面积的最大值以及P，Q的坐标．

解答 解：（1）由射线l的方程为y=2$\sqrt{2}$x，
可得tanα=2$\sqrt{2}$，sinα=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，cosα=$\frac{1}{3}$，
故$cos（α+\frac{π}{6}）$=$\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}-\frac{{2\sqrt{2}}}{3}×\frac{1}{2}=\frac{{\sqrt{3}-2\sqrt{2}}}{6}$．
（2）设P（a，0），Q（b，2$\sqrt{2}$b）（a＞0，b＞0）．
在△POQ中，因为PQ²=（a-b）²+8b²=36，
即36=a²+9b²-2ab≥6ab-2ab=4ab，
所以ab≤9，
∴S_△POQ=$\frac{1}{2}$•a•3b•$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\sqrt{2}$ab≤9$\sqrt{2}$．当且仅当a=3b，即$a=3\sqrt{3}，b=\sqrt{3}$取得等号．
所以△POQ面积最大时，点P，Q的坐标分别为$P（3\sqrt{3}，0），Q（\sqrt{3}，2\sqrt{6}）$．

点评 本题考查三角函数的求值，同时考查任意角的三角函数的定义，三角形中的面积公式，主要考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题．