Question

如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，，侧面底面，且为等腰直角三角形，，为的中点．

(Ⅰ)求证：；

(Ⅱ)求证：平面；

(Ⅲ)求二面角的正切值．

Answer 1

【解】  解法一：(Ⅰ)取的中点，连结．        ……1分

，     ．         

，且，

是正三角形，．

平面．

．             

(Ⅱ)取的中点，联结，

分别为的中点，  

                        

，且．   分

∵四边形是直角梯形，且，

且．                            ∴四边形是平行四边形．                       

．                                       

平面，

平面．                                   

 (Ⅲ)取的中点，联结．

∵四边形是直角梯形且，

，．

平面，

，

是二面角的平面角．                       设，则．

、分别为、中点，

．

是等腰直角三角形斜边的中点，．      ，

∴二面角的正切值为．          解法二：(Ⅰ)同解法1

(Ⅱ) ∵侧面底面，

又，      底面．

．

．

∴直线两两互相垂直，故可以分别以直线为轴、轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系．           设，，则可求得，则

．                   且，

，即．

，即．

．  

设是平面的法向量，则且．

 

取，得．          是的中点， ．

．

．      

．                                          

平面，

平面．                                   ……

 (Ⅲ)平面，

是平面的法向量，                                                 …

∴二面角的正切值为．