题目内容
1．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{5}t+2}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=asinθ（a≠0）．（Ⅰ）求圆C的直角坐标系方程与直线l的普通方程；
（Ⅱ）设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的$\sqrt{3}$倍，求a的值．
分析 （Ⅰ）将t参数消去可得直线l的普通方程，根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2带入圆C可得直角坐标系方程；
（Ⅱ）利用弦长公式直接建立关系求解即可．
解答 解：（Ⅰ）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{5}t+2}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t，可得：4x+3y-8=0；
由圆C的极坐标方程为ρ=asinθ（a≠0），可得ρ2=ρasinθ，根据ρsinθ=y，ρ2=x2+y2
可得圆C的直角坐标系方程为：x2+y2-ay=0，即${x}^{2}+（y-\frac{a}{2}）^{2}=\frac{{a}^{2}}{4}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知圆C的圆心为（0，$\frac{a}{2}$）半径r=$\frac{a}{2}$，
直线方程为4x+3y-8=0；
那么：圆心到直线的距离d=$\frac{|\frac{3a}{2}-8|}{5}$
直线l截圆C的弦长为$\sqrt{3}a$=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$
解得：a=32或a=$\frac{32}{11}$
故得直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的$\sqrt{3}$倍时a的值为32或$\frac{32}{11}$．
点评 本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，以及应用，属于中档题．
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