Question

9．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（0＜ω＜1，|φ|＜π）．若对任意x∈R，f（1）≤f（x）≤f（6），则（　　）

• A． f（2014）-f（2017）＜0
• B． f（2014）-f（2017）=0
• C． f（2014）+f（2017）＜0
• D． f（2014）+f（2017）=0

Answer 1

分析 根据条件f（1）≤f（x）≤f（6），确定函数的最大值和最小值，进而确定满足条件ω，φ的值，可得周期和解析式，在化简f（2014）和f（2017）比较其值的大小可得结论

解答 解：∵对任意的实数x均存在f（1）≤f（x）≤f（6），
∴f（1）为函数最小值．
即f（1）=sin（ω+φ）=-1
可得：ω+φ=$-\frac{π}{2}+2kπ$（k∈Z）…①，
∵f（6）为函数的最大值，
∴f（6）=sin（6ω+φ）=1
6ω+φ=$\frac{π}{2}+2kπ$（k∈Z）…②，
由②-①可得：5ω=π，
∴ω=$\frac{π}{5}$，
∴T=$\frac{2π}{\frac{π}{5}}=10$，
∵sin（ω+φ）=-1
|φ|＜π，
令$\frac{π}{5}$+φ=$-\frac{π}{2}$，
可得：φ=$-\frac{7π}{10}$．
那么可得f（x）=sin（$\frac{π}{5}$x$-\frac{7π}{10}$）．
∴f（2014）=f（4）=sin（$\frac{4}{5}π-\frac{7π}{10}$）=sin$\frac{π}{10}$$＜sin\frac{π}{6}=\frac{1}{2}$
f（2017）=f（7）=sin（$\frac{7π}{5}-\frac{7π}{10}$）=sin（$\frac{7π}{10}$）$≥sin\frac{3π}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴f（2014）-f（2017）＜0．
故选：A．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，两条条件求解符合的函数解析式是解决本题的关键．属于中档题．