Question

18．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，N为BB₁的中点，则直线AN与B₁C所成角的余弦值是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{10}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• C． $\frac{3\sqrt{10}}{10}$
• D． $\frac{\sqrt{10}}{10}$

Answer 1

分析 建立空间直角坐标系，先求向量$\overrightarrow{AN}$，$\overrightarrow{{B}_{1}C}$，夹角的余弦值，可得异面直线所成角的余弦值，可得答案．

解答 解：分别以DA、DC、DD₁所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，可得D（0，0，0），A（2，0，0），N（2，2，1），B₁（2，2，2），C（0，2，0），
∴$\overrightarrow{AN}$=（0，2，1），$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（-2，0，-2），
∴∴cos＜$\overrightarrow{AN}$，$\overrightarrow{{B}_{1}C}$＞=$\frac{\overrightarrow{AN}•\overrightarrow{{B}_{1}C}}{|\overrightarrow{AN}||\overrightarrow{{B}_{1}C}|}$=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴异面直线DE与B₁C所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
 故选：D．

点评 本题考查异面直线所成的角，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题．