Question

（本题13分）已知函数。

（Ⅰ）若，试判断并证明的单调性；

（Ⅱ）若函数在上单调，且存在使成立，求的取值范围；

（Ⅲ）当时，求函数的最大值的表达式。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）用定义证明函数的单调性；（Ⅱ）；（Ⅲ）。

【解析】

试题分析：（Ⅰ）当时，在上单调递增           1分

证明：              1分

则

                               2分

，在上单调递增。  

（Ⅱ）当时，

由于

则

则当时，，单调增；

当时，，单调减。

所以，当时，在上单调增；                2分

又存在使成立

所以。              2分

综上，的取值范围为。

（Ⅲ）当时，

由（Ⅰ）知在区间上单调递增，    1分

由（Ⅱ）知，①当时，在上单调增，

②当时，在上单调递增，在上单调递减，

又因为在上是连续函数

所以，①当时，在上单调增，则；

②当时，在上单调增，在上单调减，在上单调增，

2分

则 

综上，的最大值的表达式。                 2分

考点：函数的单调性；函数的最值；基本不等式。

点评：解决恒成立问题常用变量分离法，变量分离法主要通过两个基本思想解决恒成立问题， 思路1：在上恒成立；思路2: 在上恒成立。注意恒成立问题与存在性问题的区别。