Question

11．已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2的正三角形，顶点A₁在底面ABC上的射影O是△ABC的中心，AA₁与AB的夹角为45°
（1）求证：AA₁⊥平面A₁BC；
（2）侧面BB₁C₁C是矩形；
（3）求棱柱的侧面积．

Answer 1

分析 （1）由题意可得A₁A=A₁B=A₁C，又∠A₁AB=45°，可得∠A₁BA═∠A₁CA═∠A₁AC═45°，即证明AA₁⊥A₁B，AA₁⊥A₁C，进而即可判定AA₁⊥平面A₁BC．
（2）连AO并延长交BC于D，证明AA₁⊥BC，由BB₁∥AA₁，可知BB₁⊥BC，即可证明BCC₁B₁是矩形，
（3）在Rt△AA₁B中，可求AA₁=A₁B=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，BC=2，利用三角形面积公式，矩形面积公式即可计算得解S_侧=2S${\;}_{{AA}_{1}{B}_{1}B}$+S${\;}_{BC{C}_{1}{B}_{1}}$的值．

解答 解：（1）如图，∵A₁在底面ABC上的射影O为正△ABC的中心，
∴A₁A=A₁B=A₁C．
    又∵∠A₁AB=45°，
∴∠A₁BA═∠A₁CA═∠A₁AC═45°，
∴∠AA₁B═∠AA₁C═90°，即AA₁⊥A₁B，AA₁⊥A₁C，
又A₁B∩A₁C═A₁，
∴AA₁⊥平面A₁BC．
（2）连AO并延长交BC于D，由条件知：AD⊥BC，AO为AA₁在底面ABC的射影，
∴AA₁⊥BC．
∵BB₁∥AA₁，
∴BB₁⊥BC，
∴BCC₁B₁是矩形，
（3）在Rt△AA₁B中，AA₁=A₁B=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，BC=2，
∴S${\;}_{{AA}_{1}{B}_{1}B}$=2S${\;}_{△A{A}_{1}B}$=AA₁•ABsin45°=2，S${\;}_{BC{C}_{1}{B}_{1}}$=2$\sqrt{2}$，
∴S_侧=2S${\;}_{{AA}_{1}{B}_{1}B}$+S${\;}_{BC{C}_{1}{B}_{1}}$=4+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了直线与平面垂直的判定以及求棱柱的侧面积等问题，解题时应画出图形，数形结合，适当地转化计算方法，属于中档题．