Question

设曲线f（x）=x+ax²+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切斜线率为2
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的极大值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,导数的运算,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的概念及应用

分析：（1）因为函数f（x）=x+ax²+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），所以f（1）=0即1+a=0即a=-1①，又f（x）在P点处的切斜线率为2，f'（x）=1+2ax+

b

x

，所以f'（1）=2即1+2a+b=2②，由①②解出即可．
（2）先求出函数的导数，得到单调区间，找出极大值点，从而求出极大值．

解答： 解：（1）因为函数f（x）=x+ax²+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），
所以f（1）=0即1+a=0即a=-1①，
又f（x）在P点处的切斜线率为2，f'（x）=1+2ax+

b

x

，
所以f'（1）=2即1+2a+b=2②
将①代入②得b=3，
故a=-1，b=3．
（2）∵f（x）=-x²+x+3lnx，（x＞0），
∴f′（x）=

-2x2+x+3

x

，
令f′（x）＞0，解得：-1＜x＜

3

2

，
∴x=

3

2

时函数取极大值，
∴f（x）极大值=-

3

4

+3ln

3

2

．

点评：本题考察了利用导数研究函数的单调性，函数的极值问题，是一道基础题．