题目内容

1．函数$f（x）=\frac{bx+c}{{a{x^2}+1}}（a，b，c∈R）$是奇函数，且f（-2）≤f（x）≤f（2），则a=$\frac{1}{4}$．

分析 由f（0）=0可求c，根据f（-2）≤f（x）≤f（2），利用基本不等式，即可得出结论．

解答 解：∵函数$f（x）=\frac{bx+c}{{a{x^2}+1}}（a，b，c∈R）$是奇函数且定义域内有0
∴f（0）=0
解得c=0，故f（x）=$\frac{bx}{a{x}^{2}+1}$．
x＞0，a＞0，f（x）=$\frac{bx}{a{x}^{2}+1}$=$\frac{b}{ax+\frac{1}{x}}$≤$\frac{b}{2\sqrt{a}}$（ax=$\frac{1}{x}$时取等号）
∵f（-2）≤f（x）≤f（2），∴2a=$\frac{1}{a}$，∴a=$\frac{1}{4}$．
故答案为$\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查了奇函数性质的简单应用，考查基本不等式的运用，属于中档题．

练习册系列答案
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12．已知函数f（x）=（lnx-k-1）x（k∈R）
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9．已知各项均为正数的等比数列{an}满足a10+a9=6a8，若存在两项am，an使得$\sqrt{{a_m}{a_n}}=4{a_1}$，则$\frac{2}{m}+\frac{1}{n}$的最大值为（　　）
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（2）当a=1时，若g（x）=-x-$\frac{1}{x}$-1，证明：当x＞1时，g（x）的图象恒在f（x）的图象上方
（3）证明：$\frac{ln2}{{2}^{2}}$+$\frac{ln3}{{3}^{2}}$+…+$\frac{lnn}{{n}^{2}}$＜$\frac{2{n}^{2}-n-1}{4（n+1）}$（n∈N*，n≥2）
13．若直线3x+y-3=0与直线6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（　　）
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10．设t∈R，已知p：函数f（x）=x2-tx+1有零点，q：?x∈R，|x-1|≥2-t2．
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（Ⅱ）若p∨q为假命题，求t的取值范围．
11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2+b2+c2=ac+bc+ca．
（1）证明：△ABC是正三角形；
（2）如图，点D的边BC的延长线上，且BC=2CD，AD=$\sqrt{7}$，求sin∠BAD的值．

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