Question

已知椭圆，直线与相交于、两点，与轴、轴分别相交于、两点，为坐标原点.
（1）若直线的方程为，求外接圆的方程；
（2）判断是否存在直线，使得、是线段的两个三等分点，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

Answer 1

（1）；（2）存在，且直线的方程为或.

试题分析：（1）先确定三个顶点的坐标，利用其外接圆圆心即为该三角形垂直平分线的交点求出外接圆的圆心，并利用两点间的距离公式求出外接圆的半径，从而求出外接圆的方程；（2）将、是线段的两个三等分点等价转化为线段的中点与线段的中点重合，且有，借助韦达定理与弦长公式进行求解.
试题解析：（1）因为直线的方程为，
所以轴的交点，与轴的交点.
则线段的中点，，
即外接圆的圆心为，半径为，
所以外接圆的方程为；
（2）结论：存在直线，使得、是线段的两个三等分点.
理由如下：
由题意，设直线的方程为，，，
则，，
由方程组得，
所以，（*）
由韦达定理，得，.
由、是线段的两个三等分点，得线段的中点与线段的中点重合.
所以，
解得.
由、是线段的两个三等分点，得.
所以，
即，
解得.
验证知（*）成立.
所以存在直线，使得、是线段的两个三等分点，此时直线l的方程为，
或.