Question

6．设$\overrightarrow{a}$=（4，3），$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$上的投影为$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，$\overrightarrow{b}$在x轴上的投影为2，且|$\overrightarrow{b}$|＜14，则$\overrightarrow{b}$为（2，-$\frac{2}{7}$）．

Answer 1

分析 根据投影得出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角及$\overrightarrow{b}$的横坐标为2，设$\overrightarrow{b}$=（2，y），利用夹角公式列方程解出y即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$上的投影为$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{16+9}$=5，
∴5cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵$\overrightarrow{b}$在x轴上的投影为2，∴$\overrightarrow{b}$的横坐标为2，
设$\overrightarrow{b}$=（2，y），则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=8+3y，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{4+{y}^{2}}$．
∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{8+3y}{5\sqrt{4+{y}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
解得y=14或y=-$\frac{2}{7}$．
∵|$\overrightarrow{b}$|＜14，∴y=-$\frac{2}{7}$．故$\overrightarrow{b}$=（2，-$\frac{2}{7}$）．
故答案为：（2，-$\frac{2}{7}$）．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．