Question

6．已知向量$\overrightarrow a=（{1，2sinθ}），\overrightarrow b=（{sin（{θ+\frac{π}{3}}），1}），θ∈R$．
（1）若$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，求tanθ的值；
（2）若$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，且$θ∈[{0，\frac{π}{2}}]$，求角θ．

Answer 1

分析 （1）$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$sin（θ+\frac{π}{3}）$+2sinθ=0，化简即可得出．
（2）由$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，可得2sinθsin$（θ+\frac{π}{3}）$=1，展开化为sin$（2θ-\frac{π}{6}）$=$\frac{1}{2}$，$θ∈[{0，\frac{π}{2}}]$，可得$（2θ-\frac{π}{6}）$∈$[-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}]$，即可得出．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$sin（θ+\frac{π}{3}）$+2sinθ=0，化为：2sinθ+$\frac{1}{2}$sinθ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ=0，解得tanθ=$-\frac{\sqrt{3}}{5}$．
（2）∵$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，∴2sinθsin$（θ+\frac{π}{3}）$=1，∴2sinθ（$\frac{1}{2}$sinθ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ）=1，∴sin$（2θ-\frac{π}{6}）$=$\frac{1}{2}$，
∵$θ∈[{0，\frac{π}{2}}]$，∴$（2θ-\frac{π}{6}）$∈$[-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}]$，∴2$θ-\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$，解得θ=$\frac{π}{6}$或$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查了向量共线定理、向量垂直与数量积的关系、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．