Question

已知函数f（x）当x＞0时有意义，并且满足下列条件：
①f（2）=1； ②f（x•y）=f（x）+f（y）； ③当x＞1时，f（x）＞0，
（Ⅰ） 求f（1）、f（

1

2

）的值；
（Ⅱ） 证明f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（Ⅲ）解不等式f（3）+f（4-8x）＞2．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）在②中令x=y=1，可由f（x•y）=f（x）+f（y），求出f（1）的值；
令x=

1

2

，y=2代入②，得f（1）=f（

1

2

）+f（2），即0=f（

1

2

）+1，从而可求f（

1

2

）；
（2）在①中令y=

1

x

，结合（1）中f（1）=0，当x＞1时，f（x）＞0，分析f（x₂）-f（x₁）的符号，结合函数单调性的定义，可得答案．
（3）由f（2）=1，可得2=f（4），结合（2）中函数的单调性，可将不等式转化为不等式组

4-8x＞0 3×(4-8x)＞4

，解得x的取值范围．

解答： 解：（1）在②中令x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1），故 f（1）=0，
令x=

1

2

，y=2代入②，得f（1）=f（

1

2

）+f（2），即0=f（

1

2

）+1，∴f（

1

2

）=-1
（2）在②中令y=

1

x

，得f（1）=f（x）+f（

1

x

），∴0=f（x）+f（

1

x

），∴f（x）=-f（

1

x

），
函数f（x）在（0，+∞）上的单调递增，理由如下：
任取x₁，x₂，设x₂＞x₁＞0，
∴

x2

x1

＞1，
∵当x＞1时，f（x）＞0，∴f（

x2

x1

）＞0  
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（

1

x1

）=f（

x2

x1

）＞0  
f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，
（3）由f（2）=1，得2f（2）=2=f（2）+f（2）=f（4），
∴f（3）+f（4-8x）＞2可化为f[3×（4-8x）]＞f（4），
∴

4-8x＞0 3×(4-8x)＞4

解得x＜

1

3

，
不等式的解集为（-∞，

1

3

）．

点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，考查抽象函数值的求法：赋值法，其中熟练掌握抽象函数的解答方法是解答的关键．