题目内容

已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
2
2
，A1，A2是椭圆E的长轴的两个端点（A2位于A1右侧），B是椭圆在y轴正半轴上的顶点，点F是椭圆E的右焦点，点M是x轴上位于A2右侧的一点，且满足
1
|A1M|
+
1
|A2M|
=
2
|FM|
=2．
（1）求椭圆E的方程以及点M的坐标；
（2）是否存在经过点(0，
2
)且斜率为k的直线l与椭圆E交于不同的两点P和Q，使得向量
OP
+
OQ
与
A2B
共线？如果存在，求出直线l的方程，如果不存在，说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）设点F（c，0），M（x，0），x＞a，由已知得
1
x+a
+
1
x-a
=
2
x-c
，从而x=
a2
c
，再由
c
a
=
2
2
，能求出椭圆方程和M点坐标．
（2）由题意，直线l的方程为y=kx+
2
，联立方程
y=kx+
2
x2
2
+y2=1
，得(
1
2
+k2)x2+2
2
kx+1=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件推导出不存在符合题意的直线l．
解答： 解：（1）设点F（c，0），M（x，0），x＞a，
由
1
|A1M|
+
1
|A2M|
=
2
|FM|
=2，
得
1
x+a
+
1
x-a
=
2
x-c
，
解得x=
a2
c
，
又
c
a
=
2
2
，b2=a2-c2，
∴a=
2
，b=c=1，
∴椭圆方程为
x2
2
+y2=1，
M点坐标为M（2，0）．
（2）由题意，直线l的方程为y=kx+
2
，
联立方程
y=kx+
2
x2
2
+y2=1
，得(
1
2
+k2)x2+2
2
kx+1=0，
∵直线l与椭圆E交于不同的两点P，Q，
∴△=8k2-4(
1
2
+k2)=4k2-2＞0，∴k2＞
1
2
，
令P（x1，y1），Q（x2，y2），
∴
OP
+
OQ
=(x1+x2，y1+y2)，
x1+x2=-
4
2
k
1+2k2
，y1+y2=k(x1+x2)+2
2
=
2
2
1+2k2
，
∴
OP
+
OQ
=（-
4
2
k
1+2k
，
2
2
2k2
）=
2
2
1+2k2
(-2k，1)，
由题知A2(
2
，0)，B(0，1)，
A2B
=(-
2
，1)，
要使向量
OP
+
OQ
与
A2B
共线，
则2k=
2
，即k=
2
2
，但不满足k2＞
1
2
，
故不存在符合题意的直线l．…（14分）
点评：本题考查椭圆E的方程以及点M的坐标的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
已知p：x2-x≥2，q：|x-2|≤1，且“p∧q”与“￢q”同时为假命题，则实数x的取值范围
 
．
已知函数f（x）当x＞0时有意义，并且满足下列条件：
①f（2）=1； ②f（x•y）=f（x）+f（y）； ③当x＞1时，f（x）＞0，
（Ⅰ） 求f（1）、f（
1
2
）的值；
（Ⅱ） 证明f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（Ⅲ）解不等式f（3）+f（4-8x）＞2．
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（-2，0），且不等式2x≤f（x）≤
1
2
x2+2对一切实数x都成立．
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（2）若对一切实数x∈[-1，1]，不等式f（x+1）＜f（
t
2
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A、存在四边相等的四边形不是正方形
B、z1，z2∈C，z1+z2为实数的充分必要条件是z1，z2为共轭复数
C、若x，y∈R，且x+y＞2则x，y至少有一个大于1
D、命题：?n∈N，2n＞1000的否定是：?n∈N，2n≤1000
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-
1
2
x2-x+4与坐标轴的交点都在圆C上．
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（2）若圆C与直线x-y+a=0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．
命题“若x2＜4，则-2＜x＜2”的逆否命题为
 
．
如果函数f（x）上存在两个不同点A、B关于原点对称，则称A、B两点为一对友好点，记作（A，B），规定（A，B）和（B，A）是同一对，已知f（x）=
|cosx|x≥0
-lg(-x)x＜0
，则函数F（x）上共存在友好点（　　）
A、1对B、3对C、5对D、7对
函数f（x）定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=(
1
2
)x
（1）写出f（x）单调区间；
（2）函数f（x）的值域．

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