Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是棱AB上的动点.

（1）求证：DA₁⊥ED₁；
（2）若直线DA₁与平面CED₁成角为45^o，求的值；
（3）写出点E到直线D₁C距离的最大值及此时点E的位置（结论不要求证明）.

Answer 1

（1）证明过程详见解析（2）；（3）点E到直线D₁C距离的最大值为，此时点E在A点处.

试题分析：本题主要以正方体为几何背景考查线线垂直、线面角、点到直线的距离、向量法等基础知识，考查学生的空间想象能力、转化能力、计算能力.第一问，根据已知条件中的垂直关系，建立空间直角坐标系，要证明DA₁⊥ED₁，只需证明即可，建立空间直角坐标系后，写出有关点的坐标，得到向量和的坐标，利用向量的数量积的计算公式进行计算；第二问，先利用求平面法向量的计算公式，求出平面的法向量，由已知直线与平面成角为，利用夹角公式得到方程，解出m，即的值；第三问，由图形得到结论.
试题解析：解：以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系，

则D(0,0,0),A（1，0，0），B(1,1,0)，C(0,1,0),D₁(0,1,2),A₁(1,0,1)，设E(1,m,0)（0≤m≤1）
（1）证明：，

所以DA₁⊥ED₁.                              4分
（2）设平面CED₁的一个法向量为,则
，而，
所以取z=1,得y=1,x=1-m，得.
因为直线DA₁与平面CED₁成角为45^o，所以
所以，所以，解得m=.  11分
（3）点E到直线D₁C距离的最大值为，此时点E在A点处.   14分