Question

已知四边形ABCD满足，E是BC的中点，将△BAE沿AE翻折成，F为的中点．
（1）求四棱锥的体积；
（2）证明：；
（3）求面所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

（1）；（2）证明过程详见解析；（3）．

试题分析：本题主要考查面面垂直、线面垂直、锥体的体积、线面平行、二面角、向量法等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力．第一问，由已知条件知，△ABE为等边三角形，所以取AE中点，则，由面面垂直的性质得B₁M⊥面AECD，所以是锥体的高，最后利用锥体的计算公式求锥体的体积；第二问，连结DE交AC于O，由已知条件得AECD为棱形，O为DE中点，在中，利用中位线，得，再利用线面平行的判定得面ACF；第三问，根据题意，观察出ME，MD，两两垂直，所以以它们为轴建立空间直角坐标系，得到相关点的坐标以及相关向量的坐标，利用向量法中求平面的法向量的方法求出平面和平面的法向量，最后利用夹角公式求夹角的余弦．
（1）取AE的中点M，连结B₁M，因为BA=AD=DC=BC=a，△ABE为等边三角形，则B₁M=，又因为面B₁AE⊥面AECD，所以B₁M⊥面AECD，
所以        4分
（2）连结ED交AC于O，连结OF，因为AECD为菱形，OE=OD所以FO∥B₁E，
所以。     7分

(3)连结MD，则∠AMD=，分别以ME,MD,MB₁为x,y,z轴建系，则,

,,,所以1，，,,设面ECB₁的法向量为，，
令x="1," ，同理面ADB₁的法向量为
， 所以，
故面所成锐二面角的余弦值为．    12分