Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC,D、E分别为AA₁、B₁C的中点，DE⊥平面BCC₁

（1）证明：AB=AC
（2）设二面角A-BD-C为60°,求B₁C与平面BCD所成的角的大小

Answer 1

（1）详见解析，（2）

试题分析：（1）证明AB=AC，往往转化为证明对应线段垂直，即证边上中线垂直.取BC中点F，连接EF，AF，易得ADEF为平行四边形，从而AF//DE. 又DE⊥平面，可得AF⊥BC.（2）求直线与平面所成角的关键在于找面的垂线.而面的垂线，往往从面面垂直的性质定理中取到.观察图形可知，BC⊥平面DEF，从而平面BCD⊥平面DEF.过作两平面的交线的垂线就是平面BCD的垂线.因为本题三维垂直关系已知，所以也可利用空间向量进行求解.已知条件的二面角与所求线面角有一个相同的平面，这也简化了运算量.
试题解析：

解法一：（1）取BC中点F，连接EF，则EF，从而EFDA。
连接AF，则ADEF为平行四边形，从而AF//DE。又DE⊥平面，故AF⊥平面，从而AF⊥BC，即AF为BC的垂直平分线，所以AB=AC。       5分
（2）作AG⊥BD，垂足为G，连接CG。由三垂线定理知CG⊥BD，故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角。由题设知，∠AGC=600..
设AC=2，则AG=。又AB=2，BC=，故AF=。
由得2AD=，解得AD=。       9分
故AD=AF。又AD⊥AF，所以四边形ADEF为正方形。
因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF。
连接AE、DF，设AE∩DF=H，则EH⊥DF，EH⊥平面BCD。
连接CH，则∠ECH为与平面BCD所成的角。.   
因ADEF为正方形，AD=，故EH=1，又EC==2，
所以∠ECH=300，即与平面BCD所成的角为300.        12分
解法二：

（1）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A—xyz。
设B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），则（1，0，2c）,E（，，c）.
于是=（，，0），=（-1，b,0）.由DE⊥平面知DE⊥BC， =0，求得b=1，所以    AB=AC。       5分
（2）设平面BCD的法向量则
又=（-1，1， 0），
=（-1，0，c）,故
令x=1,则y=1,z=,=(1,1,).
又平面的法向量=（0，1，0）
由二面角为60°知，=60°，
故 °，求得           9分
于是  ， 
，
°
所以与平面所成的角为30°       12分