Question

椭圆4x²+9y²=144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的斜率为

-

3

2

，直线方程为

2x+3y-12=0

．

Answer 1

分析：平方差法：设弦端点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆方程后作差，利用斜率公式及中点坐标公式可得斜率；根据点斜式可得直线方程．

解答：解：设弦端点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=6，y₁+y₂=4，
4x12+9y12=144①，4x22+9y22=144②，
①-②得，4(x12-x22)+9(y12-y22)=0，即4（x₁+x₂）（x₁-x₂）+9（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
所以

y1-y2

x1-x2

=

4(x1+x2)

-9(y1+y2)

=

4×6

-9×4

=-

2

3

，即kAB=-

2

3

，
所以弦所在直线方程为：y-2=-

2

3

（x-3），即2x+3y-12=0．
故答案为：-

2

3

；2x+3y-12=0．

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系、直线方程的求解，弦中点问题常利用平方差法解决，应熟练掌握．