题目内容

如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率e＝，

左右两个焦分别为F1、F2．过右焦点F2且与x轴垂直的直线与椭圆C相交M、N两点，且|MN|＝2．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)设椭圆C的一个顶点为B(0，－b)，是否存在直线l：y＝x＋m，使点B关于直线l的对称点落在椭圆C上，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)∵轴，∴，由椭圆的定义得：，　　　　　　　2分

　　∵，∴，　　　　　　　　　　　　　4分

　　又e＝得　　∴，　　　　　　　　　　6分

　　∴，

　　∴所求椭圆C的方程为．　　　　　　　　　　　　　　　8分;

　　(Ⅱ)设满足条件的直线存在，由(Ⅰ)知点B为(0，)设点B关于直线的对称点为，则由轴对称的性质可得：，

　　解得：，　　　　　　　　　　　　11分

　　∵点在椭圆上，∴，整理得解得或

　　∴直线的方程为或　　　　　　　　　　　　13分

　　经检验和都符合题设

　　∴满足条件的直线存在，其方程为或．　　　　　　　14分

　　(其它解法请参照给分)


练习册系列答案
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（2009•杭州二模）如图，在直角坐标系xOy中，锐角△ABC内接于圆x2+y2=1．已知BC平行于x轴，AB所在直线方程为y=kx+m（k＞0），记角A，B，C所对的边分别是a，b，c．
（1）若3k=
2ac
a2+c2-b2
，求cos2
A+C
2
+sin2B的值；
（2）若k=2，记∠xOA=α(0＜α＜
π
2
)，∠xOB=β(π＜β＜
3π
2
)，求sin(α+β)的值．
精英家教网如图，在直角坐标系中，中心在原点，焦点在X轴上的椭圆G的离心率为e=
15
4
，左顶点A（-4，0），圆O'：（x-2）2+y2=r2是椭圆G的内接△ABC的内切圆．
（Ⅰ） 求椭圆G的方程；
（Ⅱ）求圆O'的半径r；
（Ⅲ）过M（0，1）作圆G的两条切线交椭圆于E，F两点，判断直线EF与圆O'的位置关系，并证明．
（2013•石景山区二模）如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且α∈(
π
6
，
π
2
)．将角α的终边按逆时针方向旋转
π
3
，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．
（Ⅰ）若x1=
1
3
，求x2；
（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．
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π
3
，
π
2
)．将角α的终边按逆时针方向旋转
π
6
，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．
（Ⅰ）若x1=
1
4
，求x2； 
（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=S2，求角α的值．
精英家教网如图，在直角坐标系中，已知射线OA：x-y=0（x≥0），OB：
3
x+3y=0（x≥0），过点P（a，0）（a＞0）作直线l分别交射线OA，OB于A，B两点，且
AP
=2
PB
，则直线l的斜率为
 
．

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