题目内容
【题目】已知三棱锥
如图所示，其中
， 
，二面角
的大小为
.
（1）证明： 
；
（2）若
为线段
的中点，且
， 
，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）见解析.（2）
.
【解析】【试题分析】（1）由于
，根据面面垂直的性质定理可知2
平面
，进而得到
.（2）设
，利用
求出
，由此在
点建立空间直角坐标系，通过计算平面
和平面
的法向量，来求得二面角的余弦值.
【试题解析】
（1）证明：因为二面角
的大小为
，故平面
平面
，
又平面
平面
， 
，故
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
.
（2）解：设
，则
.
由（1）可知， 
，因为
，所以
.
因为
， 
，
所以
，所以
， 
.
解得
，故
， 
， 
.
如图所示，建立空间直角坐标系
，则
， 
， 
，
， 
，
所以
， 
.
由（1）知平面
的法向量
.
设平面
的法向量
，由
，得
.
令
，得
， 
，所以
.
所以
.
由图可知二面角
的平面角为锐角，故二面角
的余弦值为
.
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