Question

【题目】已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点．

（Ⅰ）若直线过焦点，且与圆交于（其中在轴同侧），求证： 是定值；

（Ⅱ）设抛物线在和点的切线交于点，试问： 轴上是否存在点，使得为菱形？若存在，请说明理由并求此时直线的斜率和点的坐标．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1．（Ⅱ） ．

【解析】试题分析：

(1)联立直线与抛物线的方程整理可得是定值1.

(2)由题意可得当直线的斜率为0，且时为菱形，此时.

试题解析：

解：抛物线的焦点，

设，联立与有，

则，且， ．

（Ⅰ）若直线过焦点，则，则， ．

由条件可知圆圆心为，半径为1，

由抛物线的定义有，则， ，

，

(或)

即为定值，定值为1．

（Ⅱ）当直线的斜率为0，且时为菱形．理由如下：

由有，则，

则抛物线在处的切线为，

即……①

同理抛物线在处的切线为……②

联立①②解得，代入①式解得，即．

又，所以，

即的中点为．

则有轴．若为菱形，则，所以，

此时， ，则．

方法二：设， ，由有，则，

若为菱形，则，则，

即，

则， ,

则抛物线在处的切线为，即……①

同理抛物线在处的切线为……②

联立①②．

又的中点为，所以．

方法三：设， ，由有，则，

若为菱形，则，

则，即，

则，

此时直线 ，则

所以．