Question

已知函数f（x）=sinxcosx-

3

sin²x+2sin（x+

π

3

）cosx．
（1）求f（x）的周期；
（2）求f（x）的递减区间；
（3）说明f（x）的图象可由y=sin2x的图象经过怎样的变换得到．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,正弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由条件利用查三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=2sin（2x+

π

3

），可得它的周期．
（2）令2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得x的范围，可得函数的减区间．
（3）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．

解答： 解：（1）f（x）=sinxcosx-

3

sin²x+2sin（x+

π

3

）cosx
=sinxcosx-

3

sin²x+2（

1

2

sinx+

3

2

cosx）cosx=2sinxcosx+

3

cos2x
=2sin（2x+

π

3

），
故函数的周期为T=

2π

2

=π．
（2）令2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

，
故函数的减区间为[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]，k∈z．
（3）由y=sin2x的图象向左平移

π

6

个单位可得函数y=sin2（x+

π

6

）=sin（2x+

π

3

）的图象，
再把所得图象上点的纵坐标变为原来的2倍，可得函数f（x）=2sin（2x+

π

3

）的图象．

点评：本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，正弦函数的减区间、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．